10331. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=60^{\circ}
, точки M
и N
на сторонах AB
и AC
соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника ABC
делит отрезок MN
пополам. Найдите отношение AN:MB
.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Пусть P
и Q
— проекции соответственно точки N
и центра O
описанной окружности на прямую AB
(рис. 1). Тогда по теореме Фалеса MQ=QP
. С другой стороны, Q
— середина AB
, следовательно, BM=AP
. Но в прямоугольном треугольнике APN
угол PAN
равен 60^{\circ}
. Значит,
BM=AP=\frac{1}{2}AP.
Второй способ. Пусть F
— точка на описанной окружности треугольника ABC
, диаметрально противоположная точке A
(рис. 2). Точка O
делит пополам отрезки AF
и MN
, значит AMFN
— параллелограмм. Углы BAC
и BMF
равны, так как AC\parallel MF
. Угол ABF
прямой, так как опирается на диаметр AF
. Итак, треугольник BMF
прямоугольный с углом 60^{\circ}
, следовательно, отношение его сторон MF
и MB
равно 2.
Отрезки MF
и AN
равны как противоположные стороны параллелограмма, откуда следует, что искомое отношение AN:MB
равно 2.