10332. Диагонали четырёхугольника ABCD
равны и пересекаются в точке O
. Серединные перпендикуляры к сторонам AB
и CD
пересекаются в точке P
, а серединные перпендикуляры к сторонам BC
и AD
— в точке Q
. Найдите угол POQ
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Поскольку PA=PB
и PC=PD
, треугольники PAC
и PBD
равны по трём сторонам. Значит, соответствующие высоты этих треугольников, опущенные из их общей вершины P
, равны. Следовательно, точка P
равноудалена от прямых AC
и BD
, а значит, лежит на биссектрисе одного из образованных этими прямыми углов. Аналогично точка Q
лежит на биссектрисе одного из этих углов. Докажем, что эти точки лежат на разных биссектрисах.
Биссектриса угла AOB
пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB
в середине дуги AB
описанной окружности треугольника AOB
(см. задачу 1743). Эта же биссектриса пересекает серединный перпендикуляр к стороне CD
в середине дуги CD
описанной окружности треугольника COD
. Эти точки лежат по разные стороны от точки O
, значит точка P
лежит на биссектрисе угла AOD
. Аналогично Q
лежит на биссектрисе угла AOB
. Очевидно, что эти биссектрисы перпендикулярны.