10333. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника BOC
в точке O
, пересекает луч CB
в точке F
. Окружность, описанная вокруг треугольника FOD
, повторно пересекает прямую BC
в точке G
. Докажите,что AG=AB
.
Решение. Из условия касания следует, что
\angle FOB=\angle BCO=\angle GCA,
а так как четырёхугольник FGOD
вписанный, то равны вписанные углы FOD
и FGD
. Тогда равны смежные им углы FOB
и DGC
. Значит, \angle GCA=\angle DGC
, поэтому AGCD
— равнобокая трапеция. Следовательно,
AG=DC=AB.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2016, XII, финальный тур, № 1, 9 класс