10344. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle ABC=90^{\circ}
, \angle BAC=\angle CAD
, AC=AD
, DH
— высота треугольника ACD
. В каком отношении прямая BH
делит отрезок CD
?
Ответ. 1:1
.
Решение. Поскольку угол BAC
острый, угол CAD
также острый, поэтому треугольник ACD
остроугольный. Значит, H
— внутренняя точка отрезка AC
.
Пусть N
— точка пересечения прямой BH
и отрезка CD
. Прямоугольные треугольники ABC
и AHD
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому AB=AH
. Значит, треугольник ABH
равнобедренный. Пусть \angle HBA=\alpha
, тогда
\angle CHN=\angle BHA=\alpha,~\angle ACN=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAD)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAB)=\alpha,
\angle NHD=90^{\circ}-\alpha=\angle NDH.
Таким образом, CN=HN=DN
, следовательно, HN
— медиана треугольника CHD
.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2003, № 2, 8-9 классы