10345. Внутри отрезка AC
выбрана произвольная точка B
и построены окружности с диаметрами AB
и BC
. На окружностях (в одной полуплоскости относительно прямой AC
) выбраны соответственно точки M
и L
так, что \angle MBA=\angle LBC
. Точки K
и F
отмечены соответственно на лучах BM
и BL
так, что BK=BC
и BF=AB
. Докажите, что точки M
, K
, F
и L
лежат на одной окружности.
Решение. Заметим, что
\angle AMB=\angle CLB=90^{\circ},
поэтому треугольники ABM
и CBL
подобны по двум углам, следовательно,
BM:BL=AB:CB=BF:BK.
Значит, и треугольники BMF
и BLK
подобны, так как угол B
у них общий, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны. Следовательно, \angle FMB=\angle KLB
, т. е.
\angle FMK+\angle FLK=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник MKLF
вписанный, т. е. точки M
, K
, F
и L
лежат на одной окружности.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2003, № 3, 9-10 классы