10347. Дан треугольник ABC
. Точка O_{1}
— центр прямоугольника BCDE
, построенного так, что сторона DE
прямоугольника содержит вершину A
треугольника. Точки O_{2}
и O_{3}
являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах AC
и AB
соответственно. Докажите, что прямые AO_{1}
, BO_{2}
и CO_{3}
пересекаются в одной точке.
Решение. Опустим перпендикуляр из точки O_{1}
на сторону BC
. Основание этого перпендикуляра (точка A_{0}
) является серединой стороны BC
. Продолжим отрезок AO_{1}
до пересечения со стороной BC
в точке A_{1}
. Тогда O_{1}
— середина отрезка AA_{1}
.
Проведём в треугольнике ABC
высоту AA_{2}
. Поскольку O_{1}A_{0}\parallel AA_{2}
, точка A_{0}
— середина отрезка A_{1}A_{2}
. Таким образом, точки A_{1}
и A_{2}
симметричны относительно точки A_{0}
, значит, CA_{1}=BA_{2}
и BA_{1}=CA_{2}
.
Рассмотрев аналогичным образом прямые BO_{2}
и CO_{3}
, получим, что
CB_{1}=AB_{2},~AB_{1}=CB_{2},~AC_{1}=BC_{2},~BC_{1}=AC_{2},
где B_{1}
и C_{1}
— точки пересечения этих прямых с противолежащими сторонами, а B_{2}
и C_{2}
— основания соответствующих высот.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому по теореме Чевы
\frac{BA_{2}}{A_{2}C}\cdot\frac{CB_{2}}{B_{2}A}\cdot\frac{AC_{2}}{C_{2}B}=1.
Используя доказанные равенства, получим, что
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{CA_{2}}{BA_{2}}\cdot\frac{AB_{2}}{B_{2}C}\cdot\frac{BC_{2}}{C_{2}A}=1.
Это и означает, что прямые AO_{1}
, BO_{2}
и CO_{3}
пересекаются в одной точке.
Примечание. Рассмотренные чевианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
изотомически сопряжены чевианам AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
, а искомая точка H'
их пересечения — это точка, изотомически сопряжённая ортоцентру H
треугольника ABC
. Более подробно об этих и других замечательных точках треугольника см. книгу А. Г. Мякишева «Элементы геометрии треугольника».
Автор: Мякишев А. Г.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2003, № 5, 9-10 классы