1035. На луче OX
отложены последовательно точки A
и C
, а на луче OY
— B
и D
. При этом OA=OB
и AC=BD
. Прямые AD
и BC
пересекаются в точке E
. Докажите, что луч OE
— биссектриса угла XOY
.
Указание. Докажите равенство треугольников OAE
и OBE
.
Решение. Из равенства треугольников OAD
и OBC
(по двум сторонам и углу между ними) следует, что AD=BC
и \angle ADB=\angle BCA
. Поэтому треугольники ABC
и BAD
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle BAE=\angle ABE
и треугольник ABE
— равнобедренный, BE=AE
. Тогда треугольники OAE
и OBE
равны по трём сторонам. Следовательно, \angle BOE=\angle AOE
, т. е. луч OE
— биссектриса угла XOY
.
Источник: Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7—9: Учебник для 7—9 кл. средней школы. — М.: Просвещение, 1990. — № 175, с. 50