10350. Дан квадрат ABCD
. Найдите геометрическое место таких точек M
, что \angle AMB=\angle CMD
.
Ответ. Объединение серединного перпендикуляра m
к отрезку BC
, четырёх лучей, дополняющих диагонали квадрата до прямых, и двух дуг окружности, описанной около квадрата, не включая его вершины (рис. 1).
Решение. Несложно убедиться, что любая точка, принадлежащая указанному в ответе множеству, удовлетворяет условию.
Докажем обратное утверждение. Пусть точка X
удовлетворяет условию. Тогда, по теореме синусов, должны быть равны радиусы окружностей, описанных около треугольников AXB
и CXD
. Их центры, точки O_{1}
и O_{2}
соответственно, лежат на общем серединном перпендикуляре к отрезкам AB
и CD
.
Если точки O_{1}
и O_{2}
совпадают (рис. 2), то X
принадлежит окружности, описанной около данного квадрата, но не принадлежит дугам AB
и CD
, так как в этом случае один из данных углов будет острым, а другой — тупым.
Если точка O_{1}
лежит слева от прямой AB
, а точка O_{2}
— справа от прямой CD
(или наоборот), то окружности симметричны относительно прямой m
, поэтому их точки пересечения X
лежат на этой прямой (рис. 3).
Если точки O_{1}
и O_{2}
лежат по одну сторону от прямых AB
и CD
(рис. 4), то одна из окружностей получается из другой параллельным переносом на вектор \overrightarrow{BC}
. Рассмотрим одно из четырёх возможных положений точки X
, например, слева от прямой AB
и выше прямой O_{1}O_{2}
. Остальные три возможных положения рассматриваются абсолютно аналогично.
Поскольку
O_{1}X=O_{2}X=O_{1}B=O_{1}A~\mbox{и}~O_{1}O_{2}=AB,
то \angle O_{1}AB=\angle XO_{2}O_{1}
. Пусть \angle XO_{2}O_{1}=\angle ABO_{1}=\alpha
. Тогда \angle BO_{1}O_{2}=90^{\circ}-\alpha
, значит,
\angle XO_{2}C=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
т. е. \angle XDC=45^{\circ}
(вписанный угол XDC
равен половине центрального угла XO_{2}C
). Следовательно, точка X
лежит на прямой BD
. Поскольку углы AXB
и CXD
либо оба острые, либо оба тупые, точка X
лежит вне квадрата.
Таким образом, рассмотрены все возможные случаи и доказано, что любая точка X
, удовлетворяющая условию, принадлежит указанному множеству.