10351. Треугольник ABC
вписан в окружность. Через точки A
и B
проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке P
. Точки X
и Y
— ортогональные проекции точки P
на прямые AC
и BC
. Докажите, что прямая XY
перпендикулярна медиане треугольника ABC
, проведённой из вершины C
.
Решение. Первый способ. Пусть D
— основание перпендикуляра, опущенного из точки C
на прямую XY
, M
— точка пересечения CD
и AB
. Тогда
\angle PXY=\angle ACD~\mbox{и}~\angle PYX=\angle BCD.
Следовательно,
\frac{\sin\angle ACD}{\sin\angle BCD}=\frac{\sin\angle PXY}{\sin\angle PYX}=\frac{PY}{PX}.
Кроме того, так как PA=PB
, то
\frac{PY}{PX}=\frac{PB\sin\angle PBY}{PA\sin\angle PAX}=\frac{\sin\angle PBY}{\sin\angle PAX}.
По свойству углов между касательной и хордой окружности получим, что
\angle PBY=\angle CAB~\mbox{и}~\angle PAX=\angle CBA.
Таким образом,
\frac{\sin\angle ACD}{\sin\angle BCD}=\frac{\sin\angle PBY}{\sin\angle PAX}=\frac{\sin\angle CAB}{\sin\angle CBA}=\frac{\sin\angle CAM}{\sin\angle CBM}.
Применяя теорему синусов к треугольникам ABM
и CBM
, получим, что
\frac{AM}{\sin\angle ACD}=\frac{CM}{\sin\angle CAM}~\mbox{и}~\frac{BM}{\sin\angle BCD}=\frac{CM}{\sin\angle CBM},
откуда
AM=\frac{CM\sin\angle ACD}{\sin\angle CAM}~\mbox{и}~BM=\frac{CM\sin\angle BCD}{\sin\angle CBM}.
Следовательно, \frac{AM}{BM}=1
, т. е. CM
— медиана треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть CM
— медиана треугольника ABC
, D
и K
— точки пересечения прямой CM
с прямыми XY
и PX
соответственно.
Прямая CP
содержит симедиану CS
треугольника ABC
(см. задачу 10449), поэтому лучи CP
и CM
изогональны относительно угла ACB
. Значит, \angle SCA=\angle MCB
. Из точек X
и Y
отрезок CP
виден под прямым углом, поэтому точки X
и Y
лежат на окружности с диаметром CP
. Вписанные в эту окружность углы PXY
и PCY
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle KXD=\angle PXY=\angle PCY=\angle SCA=\angle MCB=\angle KCX=90^{\circ}-\angle CKD.
Тогда
\angle CDK=180^{\circ}-\angle DCX-\angle CKD=180^{\circ}-(90^{\circ}-\angle CKD)-\angle CKD=90^{\circ}.
Следовательно, CK\perp XY
, или CM\perp XY
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.