10356. Трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC
, BC
, AD
и BD
, является вписанным.
Решение. Пусть P
— произвольная точка на окружности, описанной около данной трапеции ABCD
; X
, Y
, Z
и U
— ортогональные проекции точки P
на AC
, BC
, BD
и AD
соответственно. Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобокая. Q
— точка, симметричная точке P
относительно оси симметрии трапеции, поэтому, \angle QAC=\angle PBD
.
Рассмотрим точки X'
, Y'
, Z'
и U'
, симметричные точке P
относительно этих прямых. Четырёхугольник AXPU
вписанный, поэтому
\angle UXP=\angle UAP=180^{\circ}-\angle PAD=\angle PBD=\angle QAC.
Пусть F
— точка пересечения AQ
и XU
. Тогда
\angle AFX=180^{\circ}-(\angle UXA+\angle XAF)=180^{\circ}-(\angle UXA+\angle UXP)=
=180^{\circ}-(\angle UXA+\angle UXP)=180^{\circ}-\angle AXP=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ},
т. е. AQ\perp UX
. По теореме о средней линии треугольника U'X'\parallel UX
, поэтому AQ\perp U'X'
, а так как из симметрии AU'=AP=AX'
, то прямая AQ
— серединный перпендикуляр к отрезку X'U'
. Следовательно, QX'=QU'
. Аналогично QY'=QZ'
и QX'=QZ'
.
Таким образом, QU'=QX'=QZ'=QY'
, т. е. четырёхугольник с вершинами X'
, Y'
, Z'
и U'
вписан в окружность с центром Q
, а так как четырёхугольник с вершинами X
, Y
, Z
и U
получается из него гомотетией с центром P
и коэффициентом 2, то он также будет вписанным. Что и требовалось доказать.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2004, № 11, 10-11 классы