10358. В треугольнике ABC
на стороне AB
выбраны точки K
и L
так, что AK=BL
, а на стороне BC
— точки M
и N
так, что CN=BM
. Докажите, что KN+LM\geqslant AC
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1. Тогда
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA},~\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BK},~\overrightarrow{LM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BL}.
Складывая второе и третье равенства и учитывая равенства \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{NC}
и \overrightarrow{BL}=\overrightarrow{KA}
, получим, что
\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{LM}=(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BM})-(\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{BL})=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}.
Следовательно,
|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{LM}+\overrightarrow{KN}|\leqslant|\overrightarrow{LM}|+|\overrightarrow{KN}|.
Заметим, что при таком решении не существенно, как расположены точки K
, L
, M
и N
.
Второй способ. Достроим треугольник BNL
до параллелограмма BNXL
(рис. 2). Тогда отрезок NX
параллелен и равен отрезку BL
, а значит, и отрезку AK
. Аналогично, отрезок LX
параллелен и равен отрезку CM
. Значит, CMLX
и AKNX
— параллелограммы. Следовательно,
LM+KN=CX+AX\geqslant AC.
Третий способ. Рассмотрим для определённости случай, изображённый на рис. 3. Пусть K'
, L'
, M'
и N'
— ортогональные проекции на прямую AC
точек K
, L
, M
и N
соответственно. Проведём перпендикуляры KE
и MF
к прямым NN'
и LL'
соответственно.
Пусть
\angle A=\alpha,~\angle C=\gamma,~AK=BL=x,~CN=BM=y.
Тогда
AK'=x\cos\alpha,~CN'=y\cos\gamma,~
L'M'=MF=x\cos\alpha+y\cos\gamma=AK'+CN'.
Значит,
KN\geqslant KE,~LM\geqslant MF.
Следовательно,
KN+LM\geqslant KE+MF=K'N'+L'M'=K'N'+AK'+CN'=AC.