10363. На окружности с диаметром AB
выбраны точки C
и D
. Через середину K
хорды CD
проведён диаметр XY
. Точка M
— проекция точки X
на прямую AC
, а точка N
— проекция точки Y
на прямую BD
. Докажите, что точки M
, N
и K
лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть O
— центр окружности. Докажем, что \angle NKY=\angle MKX
. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Из точек K
и M
отрезок CX
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CX
. Вписанные в эту окружность углы MKX
и MCX
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MKX=\angle MCX=\angle ACX=\frac{1}{2}\angle AOX
(вписанный в исходную окружность угол ACX
равен половине соответствующего центрального). Аналогично,
\angle NKY=\angle NDY=\angle BDY=\frac{1}{2}\angle BOY,
а так как вертикальные углы BOY
и AOX
равны, то \angle MKX=\angle NKY
. Что и требовалось доказать.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2005, № 8, 10-11 классы