10368. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, центр O
которой лежит внутри него. Касательные к окружности в точках A
и C
и прямая, симметричная BD
относительно точки O
, пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от O
до противоположных сторон четырёхугольника равны.
Решение. Пусть B'
и D'
— точки, симметричные точкам соответственно B
и D
относительно центра окружности. По условию прямая B'D'
проходит через точку P
пересечения данных касательных.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle PCD'=\angle PB'C
, поэтому треугольники PD'C
и PCB'
подобны. Аналогично подобны треугольники PDA'
и PAB'
. Значит,
\frac{PC}{PB'}=\frac{CD'}{B'C}~\mbox{и}~\frac{PA}{PB'}=\frac{AD'}{B'A}.
Поскольку PA=PC
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, то
\frac{CD'}{B'C}=\frac{PC}{PB'}=\frac{PA}{PB'}=\frac{AD'}{B'A}.
Значит, CD'\cdot B'A=AD'\cdot B'C
.
Перпендикуляры, проведённые из точки O
к прямым AB
, BC
, CD
и DA
, являются средними линиями треугольников ABB'
, CBB'
, CDD'
и ADD'
соответственно. Эти перпендикуляры равны соответственно \frac{1}{2}B'A
, \frac{1}{2}B'C
, \frac{1}{2}CD'
и \frac{1}{2}AD'
. Следовательно, для них выполняется требуемое равенство.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2006, № 10, 10-11 классы