10369. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
. На продолжениях катетов AB
и AC
за вершины B
и C
отложили равные отрезки BK
и CL
; E
и F
— точки пересечения отрезка KL
и прямых, перпендикулярных KC
и проходящих через точки B
и A
соответственно. Докажите, что EF=FL
.
Решение. Первый способ. Достроим равнобедренный прямоугольный треугольник AKL
до квадрата AKDL
(рис. 1). Пусть S
и N
точки пересечения прямых BE
и AF
с отрезком DL
. Тогда \angle AKC=\angle LAN
и AL=AK
, следовательно, прямоугольные треугольники ALN
и AKC
равны по катету и прилежащему острому углу. Тогда LN=AC=AB
. Четырёхугольник ABSN
— параллелограмм, следовательно, BN=AB=LN
. Поскольку прямые BS
и AN
параллельны, то по теореме Фалеса EF=FL
.
Второй способ. Проведём через точку L
прямую, перпендикулярную прямой KC
. Пусть P
— точка пересечения этой прямой и прямой AB
(рис. 2). Тогда
\angle AKC=\angle FAC=\angle ALP~\mbox{и}~AL=AK,
следовательно, прямоугольные треугольники ALP
и AKC
равны по катету и прилежащему острому углу. Тогда AP=AC=AB
. Поскольку прямые BE
, AF
и PL
параллельны, то по теореме Фалеса EF=FL
.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2007, № 2, 8-9 классы