1037. На боковых сторонах AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
отмечены точки P
и Q
так, что \angle PXB=\angle QXC
, где X
— середина основания BC
. Докажите, что BQ=CP
.
Указание. Докажите равенство треугольников BXQ
и CXP
.
Решение. Треугольники XPB
и XQC
равны по стороне (BX=CX
) и двум прилежащим к ней углам. Поэтому PX=QX
. Тогда треугольники BXQ
и CXP
равны по двум сторонам (BX=CX
и QX=PX
) и углу между ними:
\angle BXQ=\angle BXP+\angle PXQ=\angle CXQ+\angle PXQ=\angle CXP.
Следовательно, BQ=CP
.
Источник: Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7—9: Учебник для 7—9 кл. средней школы. — М.: Просвещение, 1990. — № 179, с. 51