10370. Постройте параллелограмм ABCD
, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот BH
и BP
и середина стороны AD
.
Решение. Предположим, что искомый параллелограмм ABCD
построен. Пусть K
и L
— середины его высот BH
и BP
соответственно, а M
— середина стороны AD
.
Поскольку AM=MD
и BL=LP
, отрезок ML
— средняя линия трапеции ABPD
, поэтому ML\parallel CD
и ML\perp LP
. Следовательно, вершина B
параллелограмма принадлежит прямой l
, перпендикулярной ML
.
На продолжении отрезка за точку K
отложим отрезок KN=KM
. Треугольник KBN
равен прямоугольному треугольнику KHM
по двум сторонам и углу между ними, значит, \angle KBN=90^{\circ}
, и вершина B
лежит на окружности с диаметром NK
. Таким образом, вершина B
является точкой пересечения прямой l
и этой окружности. Отсюда вытекает следующее построение.
Через точку L
проводим прямую l
, перпендикулярную KM
. На продолжении отрезка MK
за точку K
откладываем отрезок KN=KM
. Строим окружность на отрезке KN
как на диаметре. Пусть B
— точка пересечения этой окружности с прямой l
. На продолжении отрезка BK
за точку K
откладываем отрезок KH=BK
, и проводим прямую HM
. На продолжении отрезка BL
за точку L
откладываем отрезок LP=BL
, и через точку P
проводим прямую, перпендикулярную BP
. Её пересечение с прямой HM
есть искомая вершина D
. Через точку B
проводим прямую, параллельную DP
. Она пересекают прямую DH
в искомой вершине A
. Точка пересечения прямых BN
и DP
— искомая вершина C
.
Очевидно, ABCD
— параллелограмм, BP
и BH
— его высоты, L
и K
— их середины, а так как K
— середина BH
и KM\parallel BP
, то M
— середина стороны AD
.
Задача может иметь два решения, одно решение или ни одного. Это зависит от количества точек пересечения прямой l
и окружности с диаметром NK
.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2007, № 3, 8-9 классы