10374. Середины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Оказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.
Решение. Пусть
M
,
K
,
P
,
L
,
N
и
S
— середины сторон
AB
,
BC
,
CD
,
DE
,
EF
и
FA
соответственно. Тогда
\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{FD}),~\overrightarrow{KN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CE}),~\overrightarrow{LM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EA})

(см. задачу 4504). Сложив эти равенства, получим, что
\overrightarrow{SP}+\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{LM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FD})=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.

По условию, угол между любыми двумя из этих трёх векторов равен
60^{\circ}
, следовательно, из отрезков
SP
,
KN
и
LM
можно составить равносторонний треугольник, т. е. они равны.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2007, № 10, 10-11 классы