10374. Середины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Оказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.
Решение. Пусть M
, K
, P
, L
, N
и S
— середины сторон AB
, BC
, CD
, DE
, EF
и FA
соответственно. Тогда
\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{FD}),~\overrightarrow{KN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CE}),~\overrightarrow{LM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EA})
(см. задачу 4504). Сложив эти равенства, получим, что
\overrightarrow{SP}+\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{LM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FD})=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
По условию, угол между любыми двумя из этих трёх векторов равен 60^{\circ}
, следовательно, из отрезков SP
, KN
и LM
можно составить равносторонний треугольник, т. е. они равны.