10376. В некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
Ответ. Нет, не верно.
Решение. Рассмотрим неравнобедренный треугольник ABC
, в котором \angle A=60^\circ
. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы углов B
и C
соответственно (рис. 2), пересекающиеся в точке K
. Обозначим \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Тогда
\angle C_{1}AB=\angle C_{1}CB=\frac{\gamma}{2},~\angle ACB_{1}=\angle ABB_{1}=\frac{\beta}{2}.
Тогда
\angle C_{1}AC=60^{\circ}+\frac{\gamma}{2},~\angle BCB_{1}=\gamma+\frac{\beta}{2},
а так как \frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2}=60^{\circ}
, то
\angle BCB_{1}=\gamma+\frac{\beta}{2}=\frac{\gamma}{2}+\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2}=60^{\circ}+\frac{\gamma}{2}=\angle C_{1}AC.
Следовательно, BB_{1}=CC_{1}
.
Примечание. Отметим, что справедливо следующее утверждение: описанные в условии задачи хорды равны тогда и только тогда, когда \angle BAC=60^{\circ}
или AB=AC
.
В одну сторону утверждение доказано (случай равнобедренного треугольника очевиден).
Действительно, эти хорды равны тогда и только тогда, когда углы, на них опирающиеся, равны или в сумме дают развёрнутый угол. В первом случае получим равнобедренный треугольник. Во втором случае, поскольку рассуждения, приведённые выше, обратимы, получим, что \angle BAC=60^{\circ}
.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2008, № 2, 8-9 классы