10377. В правильном шестиугольнике ABCDEF
на прямой AF
взята такая точка X
, что \angle XCD=45^{\circ}
. Найдите угол FXE
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Проведём отрезки AC
, AE
и CX
. Заметим, что
\angle DCA=\angle CAF=90^{\circ}.
По условию \angle XCD=45^{\circ}
, значит, \angle ACX=45^{\circ}
, поэтому треугольник AXC
— прямоугольный и равнобедренный и AX=AC
. Кроме того, в правильном шестиугольнике равны диагонали AC
и AE
, откуда AE=AX
, т. е. треугольник AEX
— равнобедренный. Поскольку \angle EAX=30^{\circ}
, то
\angle AXE=\angle AEX=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2008, № 3, 8-9 классы
Источник: Киевская олимпиада. —