10378. Около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность. Точка P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую BC
, Q
— из A
на DC
, R
— из D
на AB
и T
— из D
на BC
. Докажите, что точки P
, Q
, R
и T
лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Докажем, что RPTQ
— равнобокая трапеция, и следовательно, вокруг неё можно описать окружность. Из точек R
и Q
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, четырёхугольник ARQD
— вписанный, поэтому
\angle RQD=180^{\circ}-\angle RAD.
Четырёхугольник ABCD
— также вписанный, поэтому
\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-\angle RAD.
Следовательно, \angle RQD=\angle BCD
, т. е. прямые PT
и RQ
параллельны.
Докажем теперь, что в трапеции RPTQ
диагонали равны. Четырёхугольник APCQ
вписан в окружность с диаметром AC
, поэтому по теореме синусов получим, что PQ=AC\sin\angle BAD
. Аналогично, из вписанного четырёхугольника RBTD
получим, что RT=BD\sin\angle ABC
. Также, из вписанного четырёхугольника ABCD
получим, что
\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BD}{\sin\angle BAD}=2R.
Значит, PQ=RT
. Следовательно, трапеция равнобокая. Что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных случаев.
Автор: Мякишев А. Г.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2008, № 4, 8-9 классы