10381. Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.
Решение. Первый способ. Пусть ABCD
и AB_{1}C_{1}D_{1}
— данные квадрат и прямоугольник (рис. 1). Заметим, что достаточно будет доказать, что середина O
отрезка B_{1}D_{1}
равноудалена от прямых AB
и BC
. Из условия следует, что
AB_{1}+AD_{1}=AB+AD,
откуда BB_{1}=DD_{1}
.
Пусть OM
и OK
— перпендикуляры, опущенные на стороны AB
и BC
соответственно. Тогда OM=\frac{1}{2}AD_{1}
как средняя линия треугольника AB_{1}D_{1}
, а
OK=\frac{1}{2}AB_{1}-BB_{1}.
Учитывая, что BB_{1}=DD_{1}
и AD=AB
, получим:
OK=\frac{1}{2}AB_{1}-BB_{1}=\frac{1}{2}(AB+BB_{1})-BB_{1}=\frac{1}{2}AD_{1},
т. е. O
лежит на диагонали BD
квадрата ABCD
.
Второй способ. Пусть AD_{1}=a
, AB_{1}=b
, AB=c
, O
— точка пересечения диагоналей прямоугольника. Выберем декартову систему координат так, чтобы общая вершина A
квадрата ABCD
и прямоугольника AB_{1}C_{1}D_{1}
была началом координат, а обе фигуры лежали в первой координатной четверти (рис. 2). Тогда интересующие нас точки имеют координаты: A(0;0)
, B_{1}(0;b)
, C_{1}(a;b)
, D_{1}(a;0)
, O\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2}\right)
. Прямая BD
задаётся уравнением x+y=c
. По условию 2(a+b)=4c
. т. е.
c=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}.
Следовательно, прямая BD
содержит точку O
.