10382. В треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и BB_{1}
. На стороне AB
выбраны такие точки M
и K
, что B_{1}K\parallel BC
и A_{1}M\parallel AC
. Докажите, что угол AA_{1}K
равен углу BB_{1}M
.
Решение. Поскольку \angle AA_{1}B=\angle AB_{1}B=90^{\circ}
, четырёхугольник ABA_{1}B_{1}
вписанный. Следовательно,
\angle ABC+\angle AB_{1}A_{1}=180^{\circ},
откуда \angle ABC=\angle A_{1}B_{1}C
. Поскольку A_{1}M\parallel AC
, то \angle A_{1}B_{1}C=\angle MA_{1}B_{1}
. Аналогично, из того, что KB_{1}\parallel BC
, получим, что \angle AKB_{1}=\angle ABC
. Следовательно, четырёхугольник MKA_{1}B_{1}
также вписанный. Тогда \angle KB_{1}M=\angle KA_{1}M
.
Из параллельности прямых и равенства вписанных углов в четырёхугольнике ABA_{1}B_{1}
получим, что
\angle MA_{1}A=\angle A_{1}AB_{1}=\angle B_{1}BA_{1}=\angle KB_{1}B.
Следовательно,
\angle BB_{1}M=\angle BB_{1}K+\angle KB_{1}M=\angle MA_{1}A+\angle KA_{1}M=\angle AA_{1}K.
В случае, когда точки M
и K
располагаются на стороне AB
в другом порядке, решение аналогично, только искомые углы являются не суммой рассмотренных углов, а их разностью.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2009, № 3, 8-9 классы