10387. Две окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
пересекаются в точках A
и B
. К ним через точку A
проводятся касательные l_{1}
и l_{2}
соответственно. Перпендикуляры, опущенные из точки B
на l_{2}
и l_{1}
, вторично пересекают окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно в точках K
и N
. Докажите, что точки K
, A
и N
лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть M
и L
— основания перпендикуляров, опущенных из точки B
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle MAB=\angle ANB
и \angle LAB=\angle AKB
. Учитывая, что \angle MAK=90^{\circ}-\angle AKB
и \angle NAL=90^{\circ}-\angle ANB
, получим, что
\angle KAN=\angle KAM+\angle BAM+\angle BAL+\angle NAL=180^{\circ}.
Следовательно, точки K
, A
и N
лежат на одной прямой.
Случай, когда точки K
и N
лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB
, рассматривается аналогично.