10388. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
, H
— точка пересечения высот. На сторонах AB
и BC
выбраны точки M
и K
соответственно так, что \angle KMH=90^{\circ}
. Докажите, что из отрезков AK
, CM
и MK
можно сложить прямоугольный треугольник.
Решение. Первый способ. Заметим, что достаточно доказать равенство MK^{2}=AK^{2}-CM^2
. Учитывая условие MK^{2}=KH^{2}-MH^{2}
, докажем, что
KH^{2}-MH^{2}=AK^{2}-CM^{2}.
Но последнее равенство равносильно равенству
CM^{2}-MH^{2}=AK^{2}-KH^{2}.
Пусть CN
и AL
— высоты треугольника ABC
. По теореме Пифагора
CM^{2}-CN^{2}=MN^{2}=MH^{2}-HN^{2},
поэтому
CM^{2}-MH^{2}=CN^{2}-HN^{2}.
Аналогично
AK^{2}-KH^{2}=AL^{2}-HL^{2}.
Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому AL=CN
и HL=HN
, откуда следует искомое равенство.
Второй способ. Рассмотрим векторы
\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HK},~\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HM}.
Учитывая равенства
\left|\overrightarrow{AH}\right|=\left|\overrightarrow{CH}\right|,~MK^{2}=KH^{2}-HM^{2},
получим, что
AK^{2}-CM^{2}=\overrightarrow{AK}^{2}-\overrightarrow{CM}^{2}=2\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HK}-2\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{HM}+MK^{2}.
Теперь достаточно доказать, что \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HK}-\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{HM}=0
.
Действительно, так как
\overrightarrow{HK}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CK}~\mbox{и}~\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AM},
то
\overrightarrow{AH}\cdot\left(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CK}\right)-\overrightarrow{CH}\cdot\left(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AM}\right)=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{HA}=0.
Что и требовалось доказать.