1039. На сторонах BC
и CD
параллелограмма ABCD
построены внешним образом правильные треугольники BCK
и DCL
. Докажите, что треугольник AKL
— правильный.
Указание. Треугольники KCL
, ADL
, KBA
равны.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle BCD=\alpha
. Рассмотрим случай, когда \alpha\lt60^{\circ}
. Поскольку
KC=BC=AD,~CL=LD,
\angle KCL=\angle KCB+\angle BCD+\angle DCL=60^{\circ}+\alpha+60^{\circ}=120^{\circ}+\alpha,
\angle ADL=360^{\circ}-\angle ADC-\angle CDL=360^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)-60^{\circ}=120^{\circ}+\alpha,
то треугольники KCL
и ADL
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому KL=AL
. Точно так же докажем, что KL=AK
. Аналогично для остальных случаев.
Второй способ. При повороте на угол 60^{\circ}
векторы \overrightarrow{LC}
и \overrightarrow{CK}
переходят в векторы \overrightarrow{LD}
и \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}
. Следовательно, при этом повороте вектор \overrightarrow{LK}=\overrightarrow{LC}+\overrightarrow{CK}
переходит в вектор \overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{LA}
. Поэтому треугольник AKL
— равносторонний.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 18.13, с. 375