10391. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C
на биссектрису угла ABD
, пересекает прямую AB
в точке C_{1}
; перпендикуляр, опущенный из вершины B
на биссектрису угла ACD
, пересекает прямую CD
в точке B_{1}
. Докажите, что B_{1}C_{1}\parallel AD
.
Решение. Пусть точки C_{1}
и B_{1}
лежат на сторонах AB
и CD
соответственно. Поскольку
\angle BC_{1}C=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABD,~\angle BB_{1}C=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACD,~\angle ABD=\angle ACD,
то \angle BC_{1}C=\angle BB_{1}C
, т. е. точки B
, C
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной окружности. Тогда \angle B_{1}C_{1}A=\angle BCB_{1}
. Значит,
\angle B_{1}C_{1}A+\angle BAD=(180^{\circ}-\angle BC_{1}B_{1})+\angle BAD=
=\angle BCD+\angle BAD=180^{\circ}.
Следовательно, AD\parallel B_{1}C_{1}
.
Аналогично рассматривается случай, когда обе точки лежат на продолжении соответствующих сторон.
В случае, когда одна из точек B_{1}
и C_{1}
лежит на стороне, а другая на продолжении,
\angle BC_{1}C+\angle BB_{1}C=180^{\circ},
что также означает принадлежность этих точек одной окружности.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2010, № 8, 10-11 классы