10393. Из вершины A
параллелограмма ABCD
опущены высоты AM
на BC
и AN
на CD
; P
— точка пересечения прямых BN
и DM
. Докажите, что прямые AP
и MN
перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим случай, когда угол A
тупой. Пусть высоты, проведённые из вершин M
и N
треугольника AMN
пересекаются в точке H
и пересекают прямые AD
и AB
в точках K
и L
соответственно. Тогда достаточно доказать, что точки A
, H
и P
лежат на одной прямой.
Заметим, что данные высоты параллельны сторонам параллелограмма. Для треугольника DMC
и прямой BN
запишем теорему Менелая:
\frac{MP}{PD}\cdot\frac{DN}{NC}\cdot\frac{CB}{BM}=1.
Заметим, что в силу параллельности \frac{DN}{NC}=\frac{KH}{HM}
, а \frac{CB}{BM}=\frac{DA}{AK}
. Тогда для треугольника KMD
и точек A
, H
и P
выполнено условие
\frac{KH}{HM}\cdot\frac{MP}{PD}\cdot\frac{DA}{AK}=1.
Следовательно, по теореме Менелая они лежат на одной прямой.
Случай, когда угол A
острый, рассматривается аналогично.
Автор: Полянский А. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2010, № 10, 10-11 классы