10398. Пусть AA_{1}
и BB_{1}
— высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC
, M
— середина AB
. Окружности, описанные около треугольников AMA_{1}
и BMB_{1}
пересекают прямые AC
и BC
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что K
, M
и L
лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Докажем, что точки K
и M
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку A_{1}B_{1}
.
Из точек A_{1}
и B_{1}
сторона AB
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Точка M
— центр этой окружности, поэтому AM=MB_{1}=MA_{1}
(рис. 1). Равные хорды стягивают равные дуги, поэтому KM
— биссектриса угла AKA_{1}
. Кроме того,
\angle KB_{1}M=180^{\circ}-\angle AB_{1}M=180^{\circ}-\angle B_{1}AM=\angle KA_{1}M,
поэтому \angle KMB_{1}=\angle KMA_{1}
. Тогда треугольники KB_{1}M
и KA_{1}M
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, KB_{1}=KA_{1}
. Следовательно, точки K
и M
равноудалены от концов отрезка A_{1}B_{1}
. Что и требовалось доказать. Для точки L
доказательство аналогично.
(Нетрудно доказать, что на этой же прямой лежит центр окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C
.)
Второй способ. Пусть прямые AC
и BC
пересекают серединный перпендикуляр к стороне AB
в точках P
и Q
соответственно (рис. 2). Из точек M
и Q
отрезок AQ
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AQ
, т. е. точка Q
лежит на описанной окружности треугольника AMA_{1}
. Аналогично, окружность, описанная около треугольника BMB_{1}
проходит через точку P
.
Докажем, что углы QMK
и PML
равны, откуда и будет следовать утверждение задачи. Используя свойство вписанных углов и то, что треугольники ABQ
и ABP
равнобедренные, получим, что
\angle QMK=\angle QAK=\angle QBP=\angle PML.
Примечание. Утверждение задачи верно и для тупоугольного треугольника.