10403. Существует ли треугольник, у которого сумма косинусов внутренних углов равна 1?
Ответ. Не существует.
Решение. Первый способ. Предположим, что такой треугольник ABC
существует, т. е. \cos A+\cos B+\cos C=1
. Поскольку
\cos C=\cos(180^{\circ}-A-B)=-\cos(A+B),
то
\cos A+\cos B=1+\cos(A+B),
откуда
2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=2\cos^{2}\frac{A+B}{2}.
Но A+B\ne\pi
, поэтому \cos\frac{A+B}{2}\ne0
. Значит, \cos\frac{A-B}{2}=\cos\frac{A+B}{2}
. Функция y=\cos x
убывает на отрезке [0;\pi]
и
0\leqslant\frac{|A-B|}{2}\lt\pi,~0\lt\frac{A+B}{2}\lt\pi,
значит, \frac{|A-B|}{2}=\frac{A+B}{2}
. Это равенство выполняется только, если A=0
или B=0
, но это невозможно, поскольку это величины углов треугольника.
Таким образом, треугольника с заданным условием не существует.
(Получив равенство косинусов, можно перенести слагаемые в одну часть и разложить разность косинусов на множители. Тогда \sin A=0
или \sin B=0
, т. е. A=0
или B=0
.)
Второй способ. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, удовлетворяющего условию. Тогда, выразив его углы по теореме косинусов, получим, что
\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=1~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}-1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}-1+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}+1=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-2ab}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-2bc}{2bc}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}+2ac}{2ac}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(a-b)^{2}-c^{2}}{2ab}+\frac{(b-c)^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2ac}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(a-b-c)(a-b+c)}{2ab}+\frac{(b-c-a)(b-c+a)}{2bc}+\frac{(a+c-b)(a+c+b)}{2ac}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{c(a-b-c)(a-b+c)+a(b-c-a)(b-c+a)+b(a+c-b)(a+c+b)}{2abc}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(a-b+c)(ac-bc-c^{2}-a^{2}-ab+ac+ab+b^{2}+bc)}{2abc}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(a-b+c)(b^{2}-c^{2}-a^{2}+2ac)}{2abc}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(a-b+c)(b^{2}-(a-c)^{2})}{2abc}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{(a-b+c)(b+c-a)(a+b-c)}{2abc}=0,
что невозможно, так как из неравенства треугольника следует, что каждая скобка в числителе принимает положительное значение. Таким образом, треугольника с заданным условием не существует.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2017-2018, XLIV, муниципальный этап, № 2, 11 класс