10404. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Оказалось, что радиусы OA
и OB
первой окружности являются касательными ко второй окружности. Через точку A
проведена прямая, которая вторично пересекает окружности в точках M
и N
. Докажите, что MB\perp NB
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1 и 2. Пусть \angle BMN=\alpha
, \angle BNM=\beta
.
Первый способ. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle OAB=\angle OBA=\alpha,
а так как AOB
— центральный угол, то \angle AOB=2\beta
(рис. 1). Из треугольника AOB
находим, что
2\alpha+2\beta=180^{\circ},
значит, \alpha+\beta=90^{\circ}
. Следовательно, \angle MBN=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть Q
— центр второй окружности (рис. 2), тогда
\angle OQB=\frac{1}{2}\angle AQB=\alpha,~\angle QOB=\frac{1}{2}\angle AOB=\beta.
Следовательно, треугольники QBO
и MBN
подобны. Но \angle QBO=90^{\circ}
(касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания), значит, \angle MBN=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Существуют и другие способы рассуждений, например, можно использовать, что четырёхугольник OAQB
— вписанный (рис. 3).