10407. Дана равнобокая трапеция ABCD
. Рассматривают точки Q
и P
на боковых сторонах AB
и CD
соответственно, для которых CP=AQ
. Докажите, что середины всех таких отрезков PQ
лежат на одной прямой.
Решение. Докажем, что середина произвольного отрезка PQ
, удовлетворяющего условию, лежит на средней линии MN
трапеции ABCD
.
Первый способ. Проведём отрезки QF
и PE
, параллельные основаниям трапеции (рис. 1). Тогда в трапециях EBCP
и AQFD
равны углы при основаниях, значит, они равнобокие. Следовательно, BE=CP=AQ=DF
. Таким образом, MN
— средняя линия трапеции QEPF
. Значит, она делит пополам и её диагональ PQ
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Из условия задачи следует, что PN=MQ
(см.2). Опустим перпендикуляры PP'
и QQ'
на прямую MN
. Тогда равны прямоугольные треугольники PP'N
и QQ'M
(по гипотенузе и острому углу). Значит, PP'=QQ'
.
Пусть PQ
пересекает MN
в точке O
. Тогда равны прямоугольные треугольники PP'O
и QQ'O
(по катету и противолежащему острому углу). Следовательно, PO=QO
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2017-2018, XLIV, муниципальный этап, № 5, 9 класс