10408. В трапеции ABCD
точка M
— середина боковой стороны CD
. Лучи BD
и BM
делят угол ABC
на три равные части. Диагональ AC
является биссектрисой угла BAD
. Найдите углы трапеции.
Ответ. \angle A=72^{\circ}
, \angle B=108^{\circ}
, \angle C=54^{\circ}
, \angle D=126^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle ABD=\alpha
. Тогда
\angle ABC=3\alpha,~\angle BAD=180^{\circ}-3\alpha,~\angle BDA=\angle DBC=2\alpha.
В треугольнике BCD
отрезок BM
является биссектрисой и медианой, значит, этот треугольник равнобедренный, BD=BC
. Тогда
\angle BCD=\angle BDC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DBC)=90^{\circ}-\alpha.
Кроме того,
\angle BCA=\angle DAC=\angle BAC,
значит, BA=BC=BD
. Таким образом, треугольник BAD
также равнобедренный, поэтому \angle BAD=\angle BDA
. Значит,
180^{\circ}-3\alpha=2\alpha,
откуда находим, что \alpha=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle A=72^{\circ},~\angle B=108^{\circ},~\angle C=54^{\circ},~\angle D=126^{\circ}.