10409. Точки M
и N
— середины сторон BC
и AD
четырёхугольника ABCD
. Известно, что \angle B=150^{\circ}
, \angle C=90^{\circ}
и AB=CD
. Найдите угол между прямыми MN
и BC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Построим параллелограмм ABMK
и прямоугольник CDLM
(рис. 1). Поскольку AK\parallel BC\parallel LD
и AK=BM=MC=LD
, то AKDL
также параллелограмм. Значит, середина N
его диагонали AD
является и серединой диагонали KL
.
В треугольнике KML
известно, что
KM=AB=CD=ML,~\angle KML=\angle KMC-\angle LMC=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}.
Следовательно, этот треугольник равносторонний. Тогда его медиана MN
является и его биссектрисой, т. е. \angle LMN=30^{\circ}
. Следовательно, \angle BMN=60^{\circ}
.
Второй способ. Проведём перпендикуляры AQ
и NP
к прямой BC
(рис. 2). Пусть AQ=a
, CM=BM=b
. Поскольку \angle ABQ=30^{\circ}
, то AB=CD=2a
, BQ=a\sqrt{3}
.
По теореме Фалеса QP=PC
, значит, NP
— средняя линия трапеции ADCQ
. Тогда
NP=\frac{3}{2}a,~PM=CP-CM=\frac{1}{2}CQ-b=\frac{a\sqrt{3}+2b}{2}-b=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Из треугольника NPM
по теореме Пифагора получим, что MN=a\sqrt{3}
. Следовательно, \angle PNM=30^{\circ}
, а \angle PMN=60^{\circ}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2017-2018, XLIV, муниципальный этап, № 6, 8 класс