10414. Дана окружность и хорда AB
, отличная от диаметра. По большей дуге AB
движется точка C
. Окружность, проходящая через точки A
, C
и точку H
пересечения высот треугольника ABC
, повторно пересекает прямую BC
в точке P
. Докажите, что все прямые PH
проходят через фиксированную точку, не зависящую от положения точки C
.
Решение. Из точки C
, расположенной на большей дуге данной окружности, хорда AB
видна под одним и тем же углом. Обозначим его \alpha
.
Поскольку точка C
движется по большей дуге AB
, то угол C
острый. Рассмотрим некоторое положение точки C
, при котором треугольник ABC
остроугольный и точка P
лежит на отрезке BC
. Пусть AA_{1}
— высота этого треугольника. Поскольку четырёхугольник ACPH
вписанный,
\angle PHA_{1}=\angle ACP=\alpha.
Рассмотрим окружность \omega
, симметричную описанной окружности треугольника ABC
относительно AB
. Поскольку
\angle ACB+\angle AHB=180^{\circ},
точка H
принадлежит \omega
.
Пусть X
— точка пересечения окружности \omega
и прямой PH
, отличная от H
. Докажем, что при движении точки C
по дуге AB
описанной около треугольника ABC
окружности, все прямые PH
проходят через точку X
. Действительно, при движении точки C
точка H
двигается по окружности \omega
, кроме того,
\angle AHX=\angle PHA_{1}=\alpha.
Поскольку \alpha=\mbox{const}
, все углы AHX
в окружности \omega
опираются на одну и ту же дугу AX
.
Случаи, когда точка P
не лежит на отрезке BC
или треугольник ABC
— тупоугольный, рассматриваются аналогично. При этом, в случае тупоугольного треугольника ABC
, точка H
движется по большей дуге окружности \omega
.