10417. H
— точка пересечения высот AA'
и BB'
остроугольного треугольника ABC
. Прямая, перпендикулярная AB
, пересекает эти высоты в точках D
и E
, а сторону AB
— в точке P
. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH
лежит на отрезке CP
.
Решение. Пусть X
— точка пересечения высоты HM
треугольника DEH
с отрезком CP
. Докажем, что X
— ортоцентр треугольника DEH
.
Заметим, что треугольник DEH
подобен треугольнику BAC
по двум углам. Действительно,
\angle DHE=180^{\circ}-\angle AHB=\angle ACB,~\angle EDH=180^{\circ}-\angle A'DP=\angle ABC.
Поскольку отношение, в котором ортоцентры подобных треугольников разбивают соответствующие высоты, одинаково, то осталось доказать, что HX:XM=CH:HC'
, где CC'
— высота треугольника ABC
.
Последнее равенство следует из равенства отрезков MP
и HC'
и подобия треугольников MXP
и HXC
.
Автор: Акопян А. В.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2012, № 3, 10-11 классы