10421. Дан треугольник ABC
. На продолжениях сторон AB
и CB
за точку B
взяты точки C_{1}
и A_{1}
соответственно так, что AC=A_{1}C=AC_{1}
. Докажите, что описанные окружности треугольников ABA_{1}
и CBC_{1}
пересекаются на биссектрисе угла B
.
Решение. Докажем, что описанные окружности треугольников ABA_{1}
и CBC_{1}
пересекаются в центре вписанной окружности треугольника ABC
.
Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABI
. Докажем, что она проходит через точку A_{1}
. Это можно сделать, например, так.
Заметим, что
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C
(см. задачу 4770), откуда
\frac{1}{2}\angle C=\angle AIB-90^{\circ}.
Треугольник CA_{1}A
равнобедренный, поэтому
\angle CA_{1}A=\angle CAA_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C=90^{\circ}-(\angle AIB-90^{\circ})=180^{\circ}-\angle AIB.
Значит, четырёхугольник AIBA_{1}
вписанный. Что и требовалось доказать.
Аналогично для окружности, описанной около треугольника BIC
и точки C_{1}
.
Примечание. Центр окружности, описанной около треугольника AIB
совпадает с серединой дуги AB
окружности, описанной около треугольника ABC
(см. задачу 788, теорема о трилистнике), что можно использовать для другого способа доказательства: в силу симметрии, окружность, описанная около треугольника AIB
пересекает сторону CB
в точке, симметричной точке A
, т. е. в точке A_{1}
.