10424. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Описанные окружности треугольников AOB
и COD
пересекаются в точке M
на стороне AD
. Докажите, что точка O
— центр вписанной окружности треугольника BMC
.
Решение. Из равенства вписанных углов следует, что
\angle OBC=\angle DBC=\angle DAC=\angle MAO=\angle MBO.
Значит, BO
— биссектриса угла MBC
. Аналогично, CO
— биссектриса угла BCM
. Следовательно, O
— центр вписанной окружности треугольника BMC
, что и требовалось.
Примечание. Несложно доказать, что AD
— диаметр данной окружности. Из этого следует, например, что O
является ортоцентром треугольника, образованного прямыми AB
, DC
и AD
.