10426. На сторонах четырёхугольника ABCD
с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM
, CBP
, CDL
и ADK
(соседние ориентированы по-разному). Докажите, что PK=ML
.
Решение. Из подобия треугольников следует, что
\frac{MB}{AB}=\frac{PB}{BC}=\frac{DL}{DC}=\frac{DK}{DA}
(рис. 1). Заметим, что
\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DK}=(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{DK})+\overrightarrow{BD},
\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DL}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{DL})+\overrightarrow{BD}.
Рассмотрим суммы в скобках. Сумма \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{DK}
получается из суммы \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}
поворотом на угол \angle(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})
и умножением на \frac{PB}{BC}
. Аналогично, \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{DL}
получается из \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}
поворотом на угол, противоположный углу \angle(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})
и умножением на \frac{MB}{AB}=\frac{PB}{BC}
.
Пусть X
, Y
, Z
и T
— середины сторон AB
, BC
, CD
и AD
соответственно (рис. 2). Тогда
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{ZX},~\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{TY}
(см. задачу 4504). Поскольку диагонали перпендикулярны, четырёхугольник XYZT
— прямоугольник. Значит, эти векторы симметричны относительно прямой BD
. Следовательно, суммы в скобках тоже симметричны относительно BD
, и при прибавлении к ним \overrightarrow{BD}
получаются векторы одинаковой длины.