10428. Прямая, проходящая через середину M
гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
, перпендикулярна AB
и пересекает катет AC
в точке K
. При этом AK:KC=2:1
.
а) Докажите, что \angle BAC=30^{\circ}
.
б) Пусть прямые MK
и BC
пересекаются в точке P
, а прямые AP
и BK
— в точке Q
. Найдите KQ
, если BC=7\sqrt{3}
.
Ответ. 7.
Решение. а) Точка K
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, значит, BK=AK=2CK
. Тогда \angle CBK=30^{\circ}
, а \angle BKC=60^{\circ}
. Поскольку BKC
— внешний угол равнобедренного треугольника AKB
, то
\angle BAC=\angle BAK=\angle ABK=\frac{1}{2}\angle BKC=30^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
б) Точка P
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, значит, PA=PB
. Треугольник APB
равнобедренный, причём
\angle ABP=\angle CBK+\angle ABK=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ},
поэтому треугольник APB
равносторонний. Его биссектриса BQ
является медианой, а так как PM
— также медиана этого треугольника, то K
— точка пересечения медиан. Следовательно,
KQ=\frac{1}{3}BQ=\frac{1}{3}AC=CK=\frac{BC}{\tg60^{\circ}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=7.