10432. В треугольнике
ABC
серединные перпендикуляры к сторонам
AB
и
BC
пересекают сторону
AC
в точках
P
и
Q
соответственно, причём точка
P
лежит на отрезке
AQ
. Докажите, что описанные окружности треугольников
PBC
и
QBA
пересекаются на биссектрисе угла
PBQ
.
Решение. Пусть
X
— точка пересечения описанных окружностей треугольников
PBC
и
QBA
, а
\angle QBC=\angle BCQ=\alpha
(рис. 1). Тогда
\angle AQB=2\alpha
(как внешний угол треугольника
BCQ
). Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, получим, что
\angle PXB=\angle PCB=\alpha,~\angle AXB=\angle AQB=2\alpha.

Следовательно,
XP
— биссектриса угла
X
в треугольнике
AXB
.
Пусть
K
и
L
— середины сторон
AB
и
BC
соответственно. Докажем, что точки
X
,
P
и
K
лежат на одной прямой. Это можно сделать разными способами.
Первый способ. Серединный перпендикуляр
PK
к стороне
AB
треугольника
AXB
и биссектриса угла
X
пересекаются в середине дуги
AB
описанной окружности треугольника
AXB
(см. задачу 1743). Следовательно, точки
X
,
P
и
K
лежат на одной прямой (иначе у прямых
KP
и
PX
было бы две точки пересечения, что невозможно).
Второй способ. Рассмотрим отдельно треугольник
AXB
(рис. 2). В треугольниках
AXP
и
BXP
равны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон. Следовательно, либо эти треугольники равны, либо
\angle PAX+\angle PBX=180^{\circ}

(рис. 3). Второй случай невозможен, поскольку тогда сумма углов треугольника
AXB
будет больше
180^{\circ}
. Следовательно, треугольники
AXP
и
BXP
равны, откуда
AX=XB
, т. е. точка
X
лежит на серединном перпендикуляре к стороне
AB
.
Аналогично можно доказать, что точки
X
,
Q
и
L
лежат на одной прямой.
Вернёмся к решению задачи. Из доказанного следует, что
AX=XB=XC
, значит,
\angle PBX=\angle XAC=\angle XCA=\angle QBX.

Следовательно,
BX
— биссектриса угла
PBQ
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Заметим, что:
1)
X
— центр описанной окружности треугольника
ABC
;
2)
X
— центр вневписанной окружности треугольника
PBQ
.
Отметим, что каждый из этих фактов даёт другой способ решения: можно определить точку
X
как центр описанной окружности треугольника
ABC
или как центр вневписанной окружности треугольника
PBQ
, и затем доказать, что она принадлежит обеим окружностям из условия.
Автор: Гаркавый А. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2014, № 4, 8-9 классы