10434. Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
с гипотенузой AB
взята такая точка M
, что угол MAB
на 15^{\circ}
больше угла MAC
, а угол MCB
на 15^\circ
больше угла MBC
. Найдите угол BMC
.
Ответ. 150^\circ
.
Решение. Пусть X
— точка пересечения AM
и высоты CH
треугольника ABC
(рис. 1). Рассмотрим случай, когда точка X
лежит на отрезке AM
(в конце решения мы покажем, что другой случай невозможен). Из условия следует, что \angle BAX=30^{\circ}
. Тогда
\angle CXM=\angle AXH=90^{\circ}-\angle XAH=60^{\circ}.
Поскольку CH
также является медианой треугольника ABC
, треугольник AXB
равнобедренный, значит, \angle BXH=60^{\circ}
. Следовательно, и \angle BXM=60^{\circ}
.
Рассмотрим отдельно треугольник CXB
. В нём
\angle XCB=45^{\circ},~\angle XBC=15^{\circ},~\angle CXB=120^{\circ},
а луч XM
— биссектриса угла CXB
(рис. 2). Докажем, что BM
— биссектриса угла CBX
.
Обозначим \angle MBC=\alpha
, тогда \angle MCB=15^{\circ}+\alpha
. Выберем на отрезке XB
такую точку Y
, что \angle YCB=15^{\circ}
. Тогда \angle XCY=30^{\circ}
. Кроме того, \angle XYC=30^{\circ}
(как внешний угол треугольника CYB
). Следовательно, треугольник CXY
равнобедренный.
Поскольку луч XM
— биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника CXY
, прямая XM
— серединный перпендикуляр к отрезку CY
. Значит, CMY
— также равнобедренный треугольник. Тогда
\angle MYC=\angle MCY=\angle MCB-\angle YCB=(15^{\circ}+\alpha)-15^{\circ}=\alpha.
С другой стороны, \angle MBC=\alpha
, значит, отрезок MC
виден из точек Y
и B
, лежащих по одну сторону от прямой MC
, под одним и тем же углом. Следовательно, четырёхугольник CMYB
вписанный. Тогда
\angle MBY=\angle MCY=\alpha,
откуда
2\alpha=\angle CBY=15^{\circ},~\angle CMB=180^{\circ}-\angle MCB-\angle MBC=
=180^{\circ}-(15^{\circ}+\alpha)-\alpha=180^{\circ}-15^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-15^{\circ}-15^{\circ}=150^{\circ}.
Докажем, что точка X
лежит на отрезке AM
. Пусть это не так (рис. 3). Снова рассмотрим треугольник AXB
отдельно и проведём отрезок CY
так, что \angle YCB=15^{\circ}
. По условию
\angle MCB=15^{\circ}+\angle MBC.
Поскольку
\angle XCB=45^{\circ}=30^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}+\angle XBC,
то для выполнения условия угол MBX
должен быть на 15^{\circ}
больше угла MCX
. Треугольник CMY
равнобедренный, поэтому
\angle MBX=\angle MBY\lt\angle MYX=\angle MCX.
Следовательно, такое расположение точек невозможно.
Автор: Кноп К. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2014, № 6, 8-9 классы