10436. Биссектрисы AA_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Описанные окружности треугольников AIC_{1}
и CIA_{1}
повторно пересекают дуги AC
и BC
(не содержащие точек B
и A
соответственно) описанной окружности треугольника ABC
в точках C_{2}
и A_{2}
соответственно. Докажите, что прямые A_{1}A_{2}
и C_{1}C_{2}
пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Докажем, что прямые C_{1}C_{2}
и A_{1}A_{2}
проходят через середину дуги ABC
.
Пусть X
— точка пересечения прямой C_{1}C_{2}
и описанной окружности \omega
треугольника ABC
. Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, следует, что
\angle AC_{2}X=\angle AC_{2}C_{1}=\angle AIC_{1}.
Кроме того (см. задачу 4770),
\angle AIC_{1}=180^{\circ}-\angle AIC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B.
Таким образом,
\angle AC_{2}X=90^\circ-\frac{1}{2}\angle ABC.
Поскольку \angle AC_{2}C=180^{\circ}-\angle ABC
, то \angle AC_{2}X=\angle CC_{2}X
. Следовательно, X
— середина дуги AC
.
Аналогично докажем, что прямая A_{1}A_{2}
пересекает окружность \omega
также в середине дуги ABC
.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2014, № 9, 10-11 классы