10439. В треугольнике ABC
высота AH
проходит через середину медианы BM
. Докажите, что в треугольнике BMC
также одна из высот проходит через середину одной из медиан.
Решение. Пусть L
— точка пересечения AH
и BM
. Тогда CL
— медиана треугольника BMC
. Докажем, что высота MK
этого треугольника делит CL
пополам.
Действительно, поскольку M
— середина AC
и MK\parallel AH
, то по теореме Фалеса MK
(высота треугольника BMC
) делит пополам отрезок CL
(медиану треугольника BMC
). Что и требовалось доказать.
Примечание. Отметим, что BH=HK=KC
.