1044. Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на одной из них равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой.
Решение. Пусть точки A
, B
и C
лежат на прямой a
, причём AB=BC
, а параллельные прямые, проходящие через точки A
, B
и C
, пересекают прямую b
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно.
Если данные прямые a
и b
параллельны, то утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда прямые a
и b
не параллельны. Через точки A_{1}
и B_{1}
проведём прямые, параллельные прямой a
. Пусть первая из них пересекает BB_{1}
в точке M
, а вторая пересекает CC_{1}
в точке N
. Тогда ABMA_{1}
и BCNB_{1}
— параллелограммы, поэтому A_{1}M=AB=BC=B_{1}N
. Кроме того, из свойства параллельных прямых следует, что \angle MA_{1}B_{1}=\angle NB_{1}C_{1}
и \angle A_{1}MB_{1}=\angle ABB_{1}=\angle BCC_{1}=\angle B_{1}NC_{1}
, значит, треугольники MA_{1}B_{1}
и NB_{1}C_{1}
равны по стороне и прилежащим к ней углам. Следовательно, A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}
.
Аналогично для случая, когда на прямой a
более двух отрезков.