10445. У двух трапеций соответственно равны углы и диагонали. Верно ли, что такие трапеции равны?
Ответ. Нет, неверно.
Решение. Первый способ. Рассмотрим две равнобокие трапеции ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с соответственно параллельными сторонами, вписанные в одну окружность (рис. 1). Тогда углы трапеций равны. Заметим, что
\frac{BD}{\sin\angle BAD}=2R=\frac{B_{1}D_{1}}{\sin\angle B_{1}A_{1}D_{1}},
поэтому BD=B_{1}D_{1}
, т. е. диагонали этих трапеций также равны.
Второй способ. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC
. Пусть A_{1}
и A_{2}
— точки на стороне BC
, а B_{1}
и B_{2}
— точки на стороне AC
, причём
BA_{1}=A_{2}C=CB_{2}=AB_{1}
(рис. 2). Тогда трапеции AB_{2}A_{2}B
и AB_{1}A_{1}B
— искомые.
Примечание. К первому способу. Равенство диагоналей можно получить, используя равенство дуг:
\smile BB_{1}=\smile CC_{1}=\smile DD_{1},
откуда \smile BD=\smile B_{1}D_{1}
. Значит, BD=B_{1}D_{1}
.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2015, № 7, 10-11 классы
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2015, XI, устный тур, № 1, 10-11 классы