10457. Две пересекающиеся окружности вписаны в угол с вершиной A
; B
— одна из точек пересечения окружностей, C
— середина хорды, концами которой являются точки касания первой окружности со сторонами угла. Найдите угол ABC
, если известно, что общая хорда видна из центра второй окружности под углом \alpha
.
Ответ. \frac{\alpha}{2}
или 180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда первая окружность — меньшая. Пусть BD
— общая хорда окружностей, O
— центр второй окружности, K
и L
— точки касания соответственно первой и второй окружностей с одной из сторон угла.
Пусть M
и N
— вторые точки пересечения луча AB
с первой и второй окружностью соответственно. При гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{AK}{AL}=\lambda
меньшая окружность гомотетична большей, поэтому
AK\cdot AL=\lambda AL\cdot AL=\lambda AL^{2}=\lambda(AB\cdot AN)=(\lambda AN)\cdot AB=AB\cdot AB=AB^{2}.
Точки C
и O
лежат на биссектрисе данного угла с вершиной A
, а CK\perp AO
и OL\perp AL
. У прямоугольных треугольников AKC
и AOL
общий острый угол при вершине A
, поэтому \frac{AC}{AK}=\frac{AL}{AO}
, или AK\cdot AL=AC\cdot AO
.
Таким образом, AC\cdot AO=AB^{2}
, или \frac{AB}{AC}=\frac{AO}{AB}
. Значит, треугольники ABC
и AOB
подобны по двум сторонам и углу между ними (угол при вершине A
— общий). Следовательно,
\angle ABC=\angle AOB=\frac{1}{2}\angle BOD=\frac{\alpha}{2}.
В случае, когда первая окружность большая аналогично получим, что
\angle ABC=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.