10459. Дан остроугольный треугольник ABC
. Пусть A'
— точка, симметричная A
относительно BC
, O_{A}
— центр окружности, проходящей через точку A
и середины отрезков A'B
и A'C
. Точки O_{B}
и O_{C}
определяются аналогично. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABC
и O_{A}O_{B}O_{C}
.
Ответ. 6:1
.
Решение. Обозначим середины отрезков BC
, BA'
и CA'
за K
, L
и M
соответственно (рис. 1). Пусть X
— центр окружности, описанной около треугольника KLM
, D
— точка, симметричная точке A
относительно серединного перпендикуляра к стороне BC
. Тогда ADBC
— равнобокая трапеция. Центр её описанной окружности совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC
.
Обозначим образы точек K
, L
, M
и X
при гомотетии с центром A
и коэффициентом 2 за D'
, B'
, C'
и O'
соответственно. При этой гомотетии треугольник KLM
переходит в треугольник D'B'C'
, а центр X
описанной окружности треугольника KLM
— в центр описанной окружности треугольника D'B'C'
. Значит, O'
— центр описанной окружности треугольника D'B'C'
.
Поскольку основание высоты треугольника A'BC
лежит на окружности, описанной около треугольника KLM
(окружности девяти точке этого треугольника), A'D'\parallel BC\parallel B'C'
. Значит, A'D'B'C'
— трапеция с основаниями A'D'
и B'C'
.
Заметим, что A'D'B'C'
получается из равнобокой трапеции ADBC
параллельным переносом на вектор \overrightarrow{AA'}
, значит, A'D'B'C'
— равнобокая трапеция.
Пусть серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекает отрезки AD
, A'D'
и B'C'
в точках F
, G
и E
соответственно. Обозначим O'E=x
, O'G=y
, EB'=EC'=a
, GD'=GA'=b
. Точка O'
центр описанной окружности равнобокой трапеции A'D'B'C'
, поэтому O'B'=O'D'
, или x^{2}+a^{2}=y^{2}+b^{2}
.
Рассмотрим теперь точку Y
, делящую отрезок O'K
в отношении O'Y:YK=2:1
. Докажем, что Y
— центр описанной окружности треугольника AB'C'
. Заметим, что
YE=YO'+O'E=\frac{2}{3}O'K+O'E=\frac{2}{3}(O'G+GK)+O'E=
=\frac{2}{3}(y+(x+y))+x=\frac{2}{3}(x+2y)+x=\frac{5x+4y}{3},
YF=YK+KF=\frac{1}{3}O'K+FK=\frac{1}{3}(x+2y)+x+y=\frac{4x+5y}{3}.
Тогда
YE^{2}-YK^{2}=\left(\frac{5x+4y}{3}\right)^{2}-\left(\frac{4x+5y}{3}\right)^{2}=
=\frac{(5x+4y-4x-5y)(5x+4y+4x+5y)}{9}=\frac{9(x-y)(x+y)}{9}=x^{2}-y^{2}=b^{2}-a^{2}.
Поэтому
a^{2}+YE^{2}=b^{2}+YF^{2},~\mbox{или}~B'E^{2}+YE^{2}=FD^{2}+FY^{2}.
Значит, YD=YB'
, поэтому точка Y
— центр описанной окружности равнобокой трапеции B'DAC'
, а следовательно, и треугольника AB'C'
.
Треугольник AB'C'
гомотетичен треугольнику ALM
с коэффициентом 2, а Y
и O_{A}
— центры описанных окружностей этих треугольников, значит, AY=2AO_{A}
.
Заметим, что Y
— точка пересечения медиан треугольника AD'O'
, поскольку O'K
— медиана треугольника AD'O'
и O'Y:YK=2:1
. Тогда луч AY
пересекает отрезок O'D'
в его середине P
, и
AP=\frac{3}{2}AY=\frac{3}{2}\cdot2AO_{A}=3AO_{A}.
Пусть теперь R
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
AD'=2AK=2\cdot\frac{3}{2}AR=3AR,
а так как AP=3AO_{A}
, то треугольники ARO_{A}
и AD'P
подобны с коэффициентом \frac{1}{3}
.
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
(а значит, и равного ему треугольника B'D'C'
) равен r
. Тогда
O'D'=r,~PD'=\frac{r}{2},~RO_{A}=\frac{1}{3}D'P=\frac{1}{6}O'D'=\frac{r}{6}.
Аналогично получаем, что RO_{B}=RO_{C}=\frac{r}{6}
. Таким образом, центр описанной окружности треугольника O_{A}O_{B}O_{C}
— точка R
(точка пересечения медиан треугольника ABC
), а радиус описанной окружности равен одной шестой радиуса описанной окружности треугольника ABC
.
Автор: Креков Д. М.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2016, № 12, 10-11 классы