10460. На стороне AB
треугольника ABC
отмечена точка K
так, что AB=CK
. Точки N
и M
— середины отрезков AK
и BC
соответственно. Отрезки NM
и CK
пересекаются в точке P
. Докажите, что KN=KP
.
Решение. Докажем, что \angle PNK=\angle NPK
, откуда и будет следовать утверждение задачи.
Пусть L
— середина отрезка BK
. Тогда ML
— средняя линия треугольника BCK
, значит,
ML\parallel CK~\mbox{и}~ML=\frac{1}{2}CK=\frac{1}{2}AB=LN.
Следовательно, треугольник MLN
равнобедренный и \angle PNK=\angle NML
. Учитывая параллельность прямых ML
и PK
, получим требуемое.
Примечание. Возможны также следующие способы решения.
1. Отложить на продолжении стороны AB
за точку A
отрезок AQ
, равный BK
, использовать равнобедренный треугольник QKC
и то, что MN
— средняя линия треугольника QCB
.
2. Доказать, что биссектриса угла K
треугольника BKC
параллельна NP
. Для этого достаточно воспользоваться свойством биссектрисы и теоремой о пропорциональных отрезках.