10468. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
, касается боковой стороны CD
в точке M
. В каком отношении прямая AM
делит площадь трапеции ABCD
, если известно, что AD=2BC
?
Ответ. 4:5
Решение. Пусть окружность касается оснований BC
и AD
в точках K
и L
соответственно. Положим BC=2t
, AD=4t
, S_{ABCD}=s
. Тогда
CM=CK=\frac{1}{2}BC=t,~DM=DL=\frac{1}{2}AD=2t,
\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD}{BC}=2,~S_{\triangle ACD}=\frac{2}{3}S_{ABCD}=\frac{2}{3}s.
Значит,
S_{\triangle AMD}=\frac{DM}{CD}S_{\triangle ACD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}s=\frac{4}{9}s,~S_{\triangle ABC}=s-\frac{4}{9}s=\frac{5}{9}s.
Следовательно, \frac{S_{\triangle AMD}}{S_{ABCM}}=\frac{4}{5}
.