1047. Докажите равенство треугольников по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
Указание. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника.
Решение. Пусть в треугольниках ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны стороны AC
и A_{1}C_{1}
и медианы AM=A_{1}M_{1}
и CN=C_{1}N_{1}
. Если O
и O_{1}
— точки пересечения медиан этих треугольников, то
AO=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}A_{1}M_{1}=A_{1}O_{1},~CO=\frac{2}{3}CN=\frac{2}{3}C_{1}N_{1}=C_{1}O_{1}.
Поэтому треугольники AOC
и A_{1}O_{1}C_{1}
равны по трём сторонам. Тогда \angle MAC=\angle M_{1}A_{1}C_{1}
и треугольники AMC
и A_{1}M_{1}C_{1}
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle BCA=\angle B_{1}C_{1}A_{1},~BC=2MC=2M_{1}C_{1}=B_{1}C_{1}.
Аналогично AB=A_{1}B_{1}
. Поэтому треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны по трём сторонам.